|
|
|
சென்னையில் இப்போது ஏழெட்டு பேர் அமர்ந்து செல்லக்கூடிய வாகனங்கள் இயங்கி வருகின்றன. "ஷேர் ஆட்டோக்கள்" என்றழைக்கப்படும் இவற்றில் காலையில் எல்லோரும் அவசரமாக அலுவலகத்திற்குச் செல்லும் போது எத்தனை பேர் வந்தாலும் "சார், கொஞ்சம் தள்ளிக்கோங்க இவர் உட்காரணும்" என்று போகும் வழியில் கை நீட்டியவர்களை யெல்லாம் ஏற்றித் திணித்துக் கொண்டே வருவார்கள். "சே! என்ன இது, எத்தனை பேர் கொள்ளும் என்பதற்கு எல்லையே கிடையாதா?" என்று நாம் சலித்துக் கொள்வோம்.
கணிதத்தில் எல்லையற்ற அளவு (infinite quantity) என்பதை இப்படித்தான் விளக்குகிறார்கள். எத்தனை பேர் வந்தாலும் எல்லோருக்கும் ஓர் இடம் இருக்குமென்றால் அவ்வண்டியில் வரம்பிலா (infinite) எண்ணிக்கையான இருக்கைகள் உள்ளன என்கிறார்கள். இறைவனைப் பற்றி வழங்கப்படும் வடசொல்லான 'அனந்தம்' என்பதும் இதைத்தான் குறிக்கிறது. அந்தம்=முடிவு; அனந்தம்=முடிவில்லாதது.
மீண்டும் ஷேர் ஆட்டோவுக்கே வருவோம். அதில் உள்ள இருக்கைகள் கணித ரீதியான வரம்பிலி என்று கொள்வோம் (எல்லாம் சும்மா ஒரு பேச்சுக்காகத்தான். உண்மையான ஆட்டோவையும் சூடு வைத்த மீட்டரையும் மறந்து நம் கற்பனை ஆட்டோவில் பயணிக்கலாம்) அதன் எல்லா இருக்கைகளிலும் ஆட்கள் உட்கார்ந்து விட்டார்கள் என்று கொள்வோம். அதாவது காலியிடமே இல்லை. இப்போது புதிதாக ஒருவர் சாலையில் திடீரெனக் கை நீட்டி ஏற்றிக் கொள்ளச் சொல்கிறார். அவருக்கு இடமளிப்பது எளிதுதான்.
எல்லா இருக்கைகளிலும் வரிசை எண்கள் இருப்பதாகக் கொள்வோம். முதலெண்ணுள்ள இருக்கையில் இருப்பவரை எழுந்து அவ்விருக்கையைக் காலியாக்கித் தரச் சொல்லி அங்கே புதியவரை அமரச் சொல்ல வேண்டும். எழுந்து இடங்கொடுத்தவரை இரண்டாமெண் இருக்கைக்குப் போகச் சொல்ல வேண்டும். இரண்டாம் எண்ணிருக்கையில் இருந்தவர் மூன்றாம் இருக்கைக்குச் செல்ல வேண்டும். இப்படியே எல்லோரும் அவரவர் இருக்கைக்கு அடுத்த இருக்கைக்குச் செல்ல வேண்டும். (யாரும் எனக்கு அடுத்தாற்போல் இருக்கை ஏதுமில்லை என்று கூற முடியாது. ஏனெனில் அங்கே வரம்பற்ற எண்ணிக்கையில் இருக்கைகள் உள்ளன!) எவ்வளவு எளிது!
அடுத்த நிறுத்தத்தில் பன்னிரண்டு பேர் ஏறுகிறார்கள் என்று கொள்வோம். ஒரு சிக்கலுமில்லை. அவர்கள் எல்லோருக்கும் இடம் கொடுத்துவிடலாம். எல்லாரையும் அவரவர் இருக்கையிலிருந்து பன்னிரண்டு இருக்கைகள் தள்ளியுள்ள இடத்தில் உட்காரச் சொல்லி விட்டால், முதல் பன்னிரண்டும் காலியாகிப் புதியவர்களை அங்கே அமர்த்திவிடலாம். என்ன சரிதானே! முன்பு சொன்ன மாதிரி வரம்பற்ற இருக்கைகள் இருப்பதால் எல்லோரும் எவ்வளவுதூரம் தள்ளிச் சென்றாலும் அங்கே இருக்கைகள் இருப்பதைக் காணலாம்.
சரி, அடுத்தாற்போல் வந்த நிறுத்தத்தில் இதற்கு முன்பே சென்ற மற்றோரு ஷேர் ஆட்டோ எந்திரக்கோளாறு காரணமாக நின்றுவிட்டது. அதிலுள்ள வரம்பிலி எண்ணிக்கை இருக்கைகளும் காலியின்றி மனிதர்கள் அடைத்துக் கொண்டிருக்கிறார்கள். அவர்களுக்குக் கருணை காட்டி நம் வண்டியில் ஏற்றிக் கொள்ள முடியுமா?
இதுவரை சொன்ன முறை இங்கே உதவாது. வரம்புள்ள எத்தனை எண்ணிக்கையுள்ள புதியவர்களையும் ஏற்றிக் கொள்ள முடியும். எத்தனை பேர் வருகிறார்களோ, அத்தனை தொலைவு தள்ளியுள்ள இருக்கைக்கு எல்லோரும் சென்று ஆரம்பத்தில் காலியிருக்கைகள் உண்டாக்கிச் சமாளிக்கலாம். ஆனால் இப்போது புதியதாக வருபவர்களோ வரம்பற்ற எண்ணிக்கையில் உள்ளனர். எல்லோரையும் எவ்வளவுதூரம் தள்ளி உட்காரச் சொல்ல முடியும்?
இதற்கும் ஓர் உபாயம் உள்ளது. எல்லோரையும் ஒரே குறிப்பிட்ட அளவு தள்ளி உட்காரச் சொன்னால் நமக்கு இது இயலாது. அதற்குப் பதிலாகப் பழையவர்கள் எல்லோரும் அவர்கள் இருக்கை எண்ணை இரண்டால் பெருக்கிவரும் எண்ணைக் கொண்ட இருக்கைக்குச் செல்ல வேண்டும்! அதாவது முதல் இருக்கையிலிருப்பவர் இரண்டிற்கும், இரண்டிலிருந்தவர் நான்கிற்கும், மூன்றிலிருந்தவர் ஆறிற்கும், ...37இல் இருப்பவர் 74ஆம் எண் இருக்கைக்கும் ...இப்படி எல்லோரும் மாறிச் செல்லவேண்டும்.
இப்போது பல காலியிடங்கள் தோன்றும். கவனித்துப் பார்த்தால் ஒற்றைப்படை வரிசை எண் இருக்கைகள் யாவையும் இம்முறையில் காலியாகியிருக்கும். ஒற்றைப்படையெண்கள் வரம்பிலாமல் வந்து கொண்டேயிருப்பவை! எனவே வரம்பில்லாமல் வரும் புதியவர்களை அந்தக் காலியிடங்களில் அமர்த்திவிடலாம்!!
முன்பு சொன்ன முறைக்கும் இதற்கும் ஒரு வேறு பாடுதான் உள்ளது. புதியவர்கள் எண்ணிக்கை வரம்பிற்குள் இருந்தால் அவர்கள் எல்லோருக்கும் ஆரம்ப இருக்கைகள் அளிக்கப்படும். வரம்பில்லா எண்ணிக்கையில் புதியவர்கள் வந்தால் அவர்களையெல்லாம் அமர்த்திய பிறகு புதியவர்களும் பழையவர்களும் மாறிமாறி அமர்ந்திருப்பார்கள்.
இதிலிருந்து என்ன தெரிகிறது? எண்வரிசைகளில், அனைத்து எண்களின் எண்ணிக்கையும், அதன் ஒரு பகுதியான ஒற்றைப்படை எண்களின் எண்ணிக்கையும், ஒரே அளவுதான்! அதாவது வரம்பிலா ஒரு தொகுப்பும் அதன் குறைப் பகுதியும் ஒத்த அளவிலிருக்கின்றது!(An infinite set can have the same number of elements as a proper subset of itself!) என்ன குழப்புகிறதா? இன்னமும் நன்றாகக் குழப்புகிறேன். |
|
|
இரண்டு கோடுகளை எடுத்துக் கொள்வோம். முதல் கோடு ஒரு செ.மீ. அளவும் மற்றது நான்கு செ.மீ. அளவும் இருப்பதாகக் கொள்வோம்.
கணிதக் கொள்கைப்படி இரண்டிலும் சம எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகள்தான் உள்ளன! அதாவது பெரிய கோட்டில் நிறைய புள்ளிகளில்லை. எப்படி இது? நீங்களே இதைச் சோதித்துப் பார்த்துத் தெரிந்து கொள்ளலாம். இதற்கு ஒருவனுக்கு ஒருத்தி என்ற ஏகபத்தினி விரத தர்க்க முறை உதவும். அதாவது ஒரு நகரில் எல்லோரும் திருமணமானவர்கள் என்று கொள்வோம். எல்லோரும் ஏகபத்தினி விரதர்களாக இருந்தால் ஆண்கள் எண்ணிக்கையும் பெண்கள் எண்ணிக்கையும் சமம்தானே! இந்த ஜோடிப் பொருத்த முறையில் இந்த இரு கோடுகள் புதிரைத் தீர்க்கலாம்.
முதலில் சிறிய கோட்டை செங்குத்தாக நிறுத்துங்கள். பெரிய கோட்டை அதன் ஒரு முனை சிறிய கோட்டின் உச்சியில் முட்டிக் கொண்டும் மற்றொரு முனை சிறிய கோட்டின் அடியின் மட்டத்திலேயே ஆனால் தூரத்தில் நிற்கும்படி அமைக்கலாம்.
இப்போது கிடையாக (horizontal) ஒரு கோட்டை வரைந்து சிறிய கோட்டின் அடியையும் பெரிய கோட்டின் அடியையும் இணைக்கலாம். சிறிய கோட்டின் புள்ளி களை ஆண்கள் என்றும் பெரிய கோட்டின் புள்ளிகளைப் பெண்கள் என்றும் கொள்வோம்.இப்போது அடிக் கோட்டிற்கு இணையாக உச்சி வரை கிடைக் கோடுகள் வரைந்து வந்தால் ஒருவனுக்கு ஒருத்தி என்று ஜோடி பொருத்தி விடலாம்.(one-to-one-correspondence). யாரும் தனிக்கட்டையாக வும் இருக்க மாட்டார்கள். அப்படியென்றால் ஆணும் பெண்ணும் சரி நிகர் என்று கும்மியடித்து விடலாம்தானே!
எப்படி இது சாத்தியம்? அதுதான் அனந்தத்தின் ஆனந்தம்! எல்லையற்ற அளவுக்குப் பொருள்கள் இருந்தால் அதை எல்லையில்லா அளவினர்க்குப் பகுத்துக் கொடுத்துப் பல்லுயிர் ஓம்பி இருக்கலாம். ஆனால் நாம் வாழும் உலகம் வரம்புகளும், எல்லையும், எல்லை தாண்டிய பயங்கர வாதமும் உடையது. இந்த கற்பனாவாத மெல்லாம் எடுபடாது. அதனால்தான் உலகில் சிலருக்கு அதிகமாகவும் பலருக்குக் குறைவாகவும் பங்குகள் சென்று அமைதி குலைந்து சண்டை சச்சரவுகள் நீடிக்கின்றன. ஆனால் கணிதவியலாளர்களின் மாய உலகத்தில் எல்லாம் வரம்பிலியாக இருப்பதால் அங்கேயே அவர்கள் மிதந்து கொண்டு சுபிட்சமாக இருந்து வருகிறார்கள்.
"சொப்பன வாழ்வில் மகிழ்ந்தேன்... சுப்பிரமணிய..."
இல்லை. சும்மா விளையாட்டிற்குச் சொன்னேன். முதன்முதலாக வரம்பிலிகளிலேயே பல வகைகள் உள்ளன என்ற கொள்கையை நிறுவிய ஜெர்மானிய கணித அறிஞர் கியார்க் கேன்டர் (Georg Cantor) பத்தொன்பதாம் நூற்றாண்டில் மிகவும் ஏளனம் செய்யப்பட்டார். அவர் காலத்திலே வாழ்ந்த க்ரானெகர் (Kronecker) என்ற மற்றொரு சிறந்த கணித மேதை இந்த வாதத்தை ஏனோ ஏற்றுக் கொள்ள இயலாமல், எல்லாம் உளறல் என்று கூறிவிட்டார். அதோடு கேன்டருக்குத் தகுந்த வரவேற்பும் பணியும் கிடைக்காமலிருக்கக் காரணமாகியும் விட்டார்.
அதனால், கேன்டர் மனநிலை சரியில்லாமற் போய்த் தன்னை "வரம்பிலிகளின் தத்துவத்தை உலகுக்கு விளக்க அனுப்பப்பட்ட தேவ தூதன்" என்று நம்ப ஆரம்பித்தார். சில அறிஞர்களுக்கு அவர்களின் மேதைமையே வாழ்க்கையின் நிம்மதியைக் கெடுத்திருக்கின்றது. அது போன்ற பல சுவாரசியமான சோகக் கதைகளைப் பின்னர் பார்க்கலாம்.
வரம்பிலிகளைப் பற்றியும் மேலும் பல கணித, மற்றும் அறிவியல் செய்திகளையும் எளிமையாக, சுவாரசியமாகத் தரும் ஒரு ஆங்கில நூல்: One, two, three, Infinity எழுதியவர் ஜார்ஜ் கேமோ (George Gamow).
வாஞ்சிநாதன் |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|