ஆறு என்ற எண்ணைக் கூறினால் ஒவ்வொருவருக்கு ஒவ்வொரு விஷயம் நினைவுக்கு வரலாம். முருக பக்தர்கள் திருச்செந்தூர், திருப்பரங்குன்றம், என்று அறுபடைவீடுகளை அடுக்கிச் சொல்லலாம். கிரிக்கெட் ரசிகராய் இருந்தால் ஜாவேத் மியான்தாத் கடைசிப் பந்தில் ஆறு அடித்து இந்தியாவை வென்ற பழங்கதையை எண்ணிப் பெருமூச்சு விடலாம். பற்றற்ற துறவிகள் ஆடியடங்கும் வாழ்க்கையில் இறுதியில் ஆறடி நிலம் மட்டும்தான் சொந்தம் என்று எண்ணலாம்.
ஆனால் எண்ணியலை ஆயும் கணித அறிஞர்கள் (Number theorists) ஆறு என்ற எண்ணின் ஒரு விசேஷ குணத்தைச் சிலாகித்துக் கூறுகிறார்கள். (ஓவ்வொருவருக்கும் அதிர்ஷ்ட எண் எது என்று சொல்பவர்கள் எண்கணித நிபுணர்கள் என்று சொல்லிக்கொள்கிறார்கள். அவர்களை நம் பையில் இருக்கும் பணத்தை எண்ணும் வல்லுநர் என்று வேண்டுமானால் கொள்ளலாம்.) அது என்ன சிறப்பு?
ஆறை வகுக்கும் எண்கள் 1, 2 மற்றும் 3. இவற்றைக் கூட்டிப் பாருங்கள் 1 + 2 + 3 = 6. அதாவது மீண்டும் ஆறே வருகிறது.
அதே சமயம் 14 என்ற எண்ணை வகுக்கும் எண்களைப் பட்டியலிட்டுக் கூட்டிப் பார்க்க 1 + 2 + 7 = 10 வருகிறது. 14ஐ எட்டவில்லை.
10 இன் காரணிகளின் கூட்டற்பலன்: 1 + 2 + 5 = 7, பத்தை விடக் குறைவு. (ஒரு எண்ணை மீதியின்றி வகுக்கும் சிறிய எண், பெரியதன் காரணி எனப்படுகிறது. ஆங்கிலத்தில் divisor அல்லது factor என்கிறார்கள்).
12இன் காரணிகளின் கூட்டுத்தொகை: 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16, எக்கச்சக்கமாகப் போகிறது.
அடுத்து 15ஐ கவனிப்போம். இதன் காரணிகளைக் கூட்ட 1 + 3 + 5 = 9 என்பது 15ஐ விட மிகவும் பின் தங்கியிருக்கிறது.
எனவே 6இன் மகிமை புரிகிறதா? ஆங்கிலத்தில் இதை Perfect Number என்கிறார்கள். நாம் சீரெண் என்று வழங்கலாம்.
ஆறுக்குப் பிறகு தேடினால் ஆயிரத்திற்குள் இன்னமும் இரண்டுதான் சீரெண்கள் அகப்பட்டுள்ளன:
அவை 28உம், 496உம்தான்!
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
(சும்மா தலையாட்டாதீர்கள், கூட்டிப் பாருங்கள். அதோடு இதில் வருபவை தவிர வேறெந்த எண்ணும் 496ஐ வகுக்காது என்றும் உறுதி செய்து கொள்ளுங்கள். இதை உறுதிப்படுத்த 496 = 31x16 என்பதும், 31 பகா எண் என்பதும் உதவும்.)
ஆயிரத்தில் மூன்றுதான் சீரெண்கள். நான்காவதைத் தேடப்போனால் எட்டாயிரத்தையும் தாண்டிச் செல்ல வேண்டும். 8128தான் அது. மிகவும் சிக்கலான கணக்கு என்று எண்ணுகிறீர்களா?
ஆய்லர் (Leonhard Euler) என்ற ஸ்விஸ் அறிஞர் இரட்டைப்படை சீரெண்கள் எல்லாவறையும் எப்படிக் கண்டுபிடிப்பது என்று முந்நூறு ஆண்டுகள் முன்பே வழியைக் கூறிவிட்டார். கிரேக்க அறிஞர்கள் இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன் இக்கேள்வியைப் பற்றிச் செய்த ஆய்வை ஆய்லர் முடித்து வைத்தார்.
அவர் கூறிய வழி இதுதான். அதற்கு இரண்டு பட்டியல்கள் தயாரிக்க வேண்டும். முதல் பட்டியல் மிகவும் எளிது. ஒன்றில் தொடங்கி தொடர்ந்து எண்களை இரட்டிப்பு செய்தால் கிடைக்கும் எண்கள்தான்:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512
இரண்டாவது பட்டியல் முதற்பட்டியலிலுள்ள எண் ஒவ்வொன்றிற்கும் பின்னேயுள்ள எண்ணை விட ஒன்று குறைவான எண்ணை எழுதுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. இதன்படி இரண்டு பட்டியலையும் ஒன்றன் கீழ் ஒன்றாக எழுதுவோம்.
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512
1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, -
- * * - * - * - -
இப்போது இரண்டாவது பட்டியலில் எப்போது பகா எண் (prime number) வருகிறதோ, அதை அதற்கு நேர் மேலேயுள்ள எண்ணால் பெருக்கி வரும் விடைகளெல்லாம் சீரெண்ணாக இருக்கும் என்பது தான் ஆய்லரின் கண்டுபிடிப்பு! (இவை மட்டும்தான், இவற்றைத்தவிர வேறேதும் இரட்டைப்படைகளில் சீரெண்கள் இல்லை)
அதன்படி நட்சத்திரக் குறியிட்டவை பகா எண்கள்:
இப்போது பெருக்கிப் பார்த்தால்:
2 x 3 = 6;
4 x 7 = 28;
16 x 31 = 496;
64 X 127 = 8128
என்று முன்பே கூறிய சீரெண்கள் வந்து விட்டன. எனவே சீரெண்களைத் தேடுவது இரண்டின் அடுக்கைவிட ஒன்று குறைவாக உள்ள பகா எண்களைத் தேடுவது என்று ஆகிவிட்டது. (prime numbers that are one less than a power of two, such as 7 and 31).
அப்படிப்பட்ட பகா எண்களை மெர்சென் பகா எண்கள் என்கிறார்கள் (Mersenne primes). இவை எத்தனையுள்ளன என்று எவருக்கும் தெரியாது. இதுவரை 40 கண்டுபிடித்திருக்கிறார்கள். நாற்பதாவது மெர்சென் பகா எண்ணுக்கு பல லட்ச இலக்கங்கள்! நம் பட்டியலின் இரண்டாவது வரிசையை நீட்டிக் கொண்டே போனால் இரண்டு கோடியே ஒன்பது இலட்சத்து
தொண்ணூற்றாறாயிரத்துப் பதினொன்றாம் இடத்தில் வரும்!
(2^220,996,011-1)
இதைப் பற்றி தகவல்கள் மேலுமறிய www.mersenne.org என்ற இணையதளத்திற்குச் செல்லவும்.
அது சரி ஒற்றைப்படை (odd numbers) எண்களில் சீரெண்கள் உள்ளனவா? அது கணிதத்தில் பல நூற்றாண்டுகளாக இன்னமும் தீர்க்கப்படாத கேள்வி. அப்படி ஏதுமில்லையென்றும் அறுதியிட்டு யாரும் இதுவரை சொல்லவில்லை. அப்படி இருந்தால் அந்த எண்ணுக்கு நூற்றுக்கு மேற்பட்ட இலக்கங்கள் இருக்க வேண்டும் என்று கூறியிருக்கிறார்கள்.
ஆனால் ஒன்று நிச்சயம். நீங்கள் ஒற்றைப் படைச் சீரெண்ணைக் கண்டுபிடித்தால் உங்களைப் பற்றி நியூயார்க் டைம்ஸ் உட்பட உலக நாளேடுகளில் புகைப்படத்துடன் செய்தி வெளிவரும்.
ஆறில் தொடங்கி வாய்த்ததடா!
சீராய் என்று காண்போமடா?
வாஞ்சிநாதன் |