மெகாத் தொடர் நாடகங்கள் இக்காலத்துத் தொலைக்காட்சியில் ஆண்டுக்கணக்காக நீள்வது போல் சில மகாத் தொடர்கள் (sequence of numbers) அறிஞர்களை எட்டு நூற்றாண்டுகளுக்கு மேலாக ஆச்சரியத்திலாழ்த்தி வருகின்றன.
இதில் மிகவும் பிரபலமானது ஃபிபொனாச்சி தொடர். சாகாவரம் பெற்ற தெய்வீக முயல்கள் பற்றிய புதிரில் நம்முடைய செப்டம்பர் மாதக் கதை ஆரம்பிக்கிறது.
ஒரு தீவில் ஒரு ஜோடி முயல் முதன்முதலாக வந்தது. அவையெல்லாம் இரண்டாவது மாதம் முடிந்த பின்னர் இரண்டு குட்டிகள் (ஆணும், பெண்ணும் ஒவ்வொன்று) போட்டுவிடுமென்று கொள்வோம். அதன்பின் மாதந்தோறும் இரு குட்டிகள். அந்த குட்டி ஜோடிகளும் இரண்டுமாதம் முடிந்த பின்னர் வளர்ந்து பெரிதாகி மாதந்தவறாமல் இரண்டு குட்டிகள் ஈனும். அப்படியென்றால் ஒவ்வொரு மாதமும் முயல்தொகைக் கணக்கெடுப்பு நடத்தி வந்தால் முடிவுகள் எப்படி இருக்கும்? (இந்த முயல்கள் இறப்பதில்லை என்பதை நினைவிற் கொள்ளுங்கள்).
முயல்களின் எண்ணிக்கையைத் தனியாகக் கூறாமல் எத்தனை ஜோடிகள் என்று கணக்கிடுவோம்.
முதல் மாதம் - 1, இரண்டாம் மாதம் -1, மூன்றாம் மாதம் - 2, நான்காம் மாதம் - 3, ஐந்தாம் மாதம் - 5, ஆறாம் மாதம் - 8, ஏழாம் மாதம் - 13, எட்டாம் மாதம் - 21
சூத்திரங்கள் நிறைந்த கணிதத்தில் இதற்கு அவ்வளவு எளிதான சூத்திரம் கிடையாது. ஒரு மறைமுகமான சூத்திரம் (reccurrence formula) உள்ளது. உதாரணமாக ஐம்பதாவது மாதத்தில் எத்தனை ஜோடி முயல்கள் என்பதை விவரிக்க ஒரு வழி. இந்த முயல்களைப் புதியவை, பழையவை என்று பிரிப்போம். நாற்பத்தொன்பதாம் மாதத்திலேயே இருந்தவை பழையவை, ஐம்பதாவது மாதத்தில் பிறந்தவை புதியவை.
இரண்டு மாதத்திற்குப்பிறகு எல்லா ஜோடிகளும் குட்டி போடுவதால், நாற்பத்தெட்டாம் மாதத்தில் எல்லா ஜோடிகளும் இரண்டிரண்டு குட்டிகள் ஈன்றிருக்கும். எனவே ஐம்பதாம் மாதத்திய முயல் தொகை, 49 மற்றும் 48ஆம் மாதத்திய முயல்தொகைகள் இரண்டையும் கூட்ட வரும் தொகையாகும்.
பொதுவாகச் சொன்னால் எந்த மாதத்திலும் உள்ள முயல் தொகை அதற்கு முந்தைய இரண்டு மாதங்களின் முயல்களின் எண்ணிக்கையைக் கூட்டக் கிடைக்கும். இந்த எண்களைத்தான் ஃபிபொனாச்சி (Fibonacci) என்ற இத்தாலிய அறிஞர் 800 ஆண்டுகளுக்கு முன் ஆய்ந்தார். எனவே ஃபிபொனாச்சித் தொடருக்கான மறைமுக சூத்திரம்:
F(n) = F(n-1) + F(n-2)
இந்த தொடர் பல இடங்களில் தலையை நீட்டும் ஆகஸ்டு இதழில் பொன்விகிதம் பற்றிக் கூறினோம். அதனுடன் உள்ள தொடர்பு எளிதானது.
ஃபிபொனாச்சித் தொடரில் அடுத்தடுத்துள்ள எண்களை வகுத்து வாருங்கள்.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89
1/1 = 1
1/2 = .5
2/3 = .66666
3/5 = .6
5/8 = .625
8/13 = .61538
13/21 = .61904
21/34 = .61764
34/55 = .618618
55/89 = .61797
89/144 = .61805
இந்த விகிதங்கள் பொன்விகிதத்தை நெருங்கி நெருங்கி வருமென்பதுதான் அவற்றுக்கிடையேயுள்ள தொடர்பு. (Ratios of consecutive Fibonacci numbers tend towards golden mean) இந்த எண்ணும், பொன் விகிதத்தைப் போல் பலரையும் வரலாறு முழுவதும் வசீகரித்திருக்கிறது. சமீபத்தில் ஆங்கிலத்தில் வெளிவந்த ஒரு சுவாரசியமான நாவலில் ஒருவர் தன்னுடைய சுவிஸ் வங்கிக் கணக்கின் இரகசிய எண்ணாக ஃபிபொனாச்சித் தொடரின் முதல் எட்டு எண்களின் இலக்கங்களை வைத்திருந்ததாக எழுதப்பட்டுள்ளது. (Da Vinci Code என்ற அந்த ஆங்கில நாவல் மிகவும் விறுவிறுப்பானதாகவும் இலக்கியத்தை அடிப்படையாகக் கொண்ட சங்கேதப் புதிர்களைக் கொண்டும் எழுதப்பட்டுள்ளது).
மற்றொரு விஷயம். ஃபிபொனாச்சித் தொடர் எண்களைப் பக்க அளவாகக் கொண்ட சதுரங்களைப் படத்திலுள்ளது போல் அடுக்கி வரையுங்கள். அதாவது முதலிரண்டு எண்கள் 1 என்பதால் 1 செ.மீ. அளவுள்ள சதுரங்களை ஒன்றையொன்று தொடும்படி வரைந்தால் அவற்றின் மேலே அடுத்த எண்ணான 2 செ.மீ. சதுரத்தை வரையலாம் இப்போது இடதுபுறம் 3 செ.மீ. அளவுள்ள சதுரத்தை வரையலாம். அடுத்து ஐந்து செ.மீ. அளவுள்ள சதுரம் இப்படி வரைந்து வாருங்கள். இப்போது உள்ளிருந்து ஒரு சுழற்கோடு (spiral)வரையலாம். அதாவது ஒவ்வோர் சதுரத்திலும் அதன் எதிர்ப்புறத்திற்குச் (diagonally opposite) செல்லுமாறு கால் வட்டங்களை வரைந்து வாருங்கள். நாட்டிலஸ் என்ற நத்தையின் ஓட்டின் அடுத்தடுத்த விட்ட விகிதங்களும் இதே அமைப்பில் அமைந்திருப்பதுதான் இயற்கையின் விந்தை.
(பார்க்க: http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html#spiral)
இயற்கையின் மற்றொரு விந்தை பூக்களிலும் இலையமைப்புகளிலும் காணலாம். செம்பருத்தி, நந்தியாவட்டை, வெண்டை, பூவரசு இவற்றின் பூக்களிலெல்லாம் ஐந்து இதழ்களைக் காணலாம். (வெண்டைப்பூவைக் காண்பது பலருக்கு அரிதாக இருக்கலாம்.
அப்பூவிலிருந்து தோன்றிய வெண்டைக்காயை நறுக்கினால் ஐந்து பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்டு ஐந்தைந்தாக விதைகளிருப்பதைக் காணலாம்). எல்லாத் தாவரங்களுக்கும் ஐந்து இதழ்கள் இல்லை. ஆனாலும் இதழ்களின் எண்ணிக்கை பெரும்பாலும் ஃபிபொனாச்சித் தொடரிலுள்ள எண்ணாகவே இருப்பதாகத் தாவரவியலாளர் கண்டுள்ளனர். நான்கு இதழ்களைக் கொண்ட மலர்கள் மிக மிக அரிது. லில்லி, ஐரிஸ் மலர்களுக்கு மூன்று இதழ்களும், டெம்பினியத்திற்கு எட்டு இதழ்களும், மேரிகோல்டு மற்றும் சில டெய்சியின் பூக்கள் 13 இதழ்கள் கொண்டிருப்பதைக் காணலாம். (இதுவும் ஒரு ஃபிபொனாச்சி எண்). காபிப்பொடியில் கலக்கப்படும் தூளைத் தரும் சிக்கரியின் மலரிலும், ஆஸ்டரிலும் 21 இதழ்கள். சூரியகாந்திப்பூவில் சுழல்களைக் காணலாம்.
எதிரெதிர்த் திசைகளில் விசிறிச் செல்லும் இந்த சுழல்களின் எண்ணிக்கை 55, அல்லது 34 என்ற ஃபிபொனாச்சி எண்களாக இருக்கிறது. பிரதட்சணச் சுழல்களும் (clockwise spirals) அப்பிரதட்சணச் சுழல்களும் (counter-clockwise spirals) அடுத்தடுத்த ஃபிபொனாச்சியெண்களாக அமைந்திருக்கிறது என்று கூறுகிறார்கள்.
விறகுக்கும் பந்தலுக்கும் பயன்படும் சவுக்கு மரத்தின் காய்களைப் போன்ற பைன் மரத்தின் காய்களிலும் இந்தச் சுழல்களின் எண்ணிக்கை ஆச்சரியத்தைத் தரும் வகையில் ஃபிபொனாச்சியெண்களாக அமைந்துள்ளது.
இதைப் படித்த பின்னர் மூன்றாண்டுகளுக்கு முன்னர் ஊட்டிக்குச் சென்ற போது எனது மகள் ஆசையாகச் சேகரித்து வைத்துள்ள பைன்கோன் ஒன்றில் சுழல்களை எண்ணினேன். வலம்புரியாக13 சுழல்களும் இடம்புரியாக 8 சுழல்களும் அதில் இருக்கின்றன.
அன்னாசிப் பழம், காலி பிளவர் எல்லாவற்றிலும் சுழல்களின் எண்ணிக்கை ஃபிபொனாச்சியெண்களாகவே அமைந்துள்ளது என்கின்றனர்.
சிலர் ஆராய்ச்சிக்காக 'பிறப்பு' நான்கெழுத்து, 'இறப்பு' நான்கெழுத்து, இவையிரண்டிற்குள்ள 'வாழ்க்கை' நான்கெழுத்து, 'இன்பம்', 'துன்பம்' நான்கெழுத்து என்று நான்கெழுத்துச் சொற்களைத் தேடிக் கொண்டிருக்கிறார்கள். மனிதனால் உருவாக்கப்பட்டவற்றைவிட இயற்கையில் காணும் நிகழ்வுகளிலும் அமைப்பிலுமுள்ள ஒழுங்கில்தான் அதிசயமிருக்கிறது என்று தோன்றுகிறது.
வாஞ்சிநாதன் |