அரசியல்வாதிகள் தமது செயல்களால் நாட்டில் எல்லோருக்கும் நன்மை என்று சொல்லிக் கொண்டேயிருப்பார்கள். 'கல்வியா, செல்வமா, வீரமா' என்று சரஸ்வதி, லக்ஷ்மி, பார்வதி என்று மூன்று தெய்வங்களுக்குள்ளே தாம் செய்யும் பணிதான் மிகவும் பயனுள்ளது என்ற சண்டையிட்டதாக ஒரு திரைப்படம் வந்தது.
உலகமே இரசாயனத்தில்தான் என்பர் வேதியியல்வாதிகள். இந்த உலகத்தை ஓட வைக்கும் பெட்ரோலாகட்டும், தட்டு, பேனா, காகிதம் என்று நாம் அன்றாடம் புழங்கும் பொருட்களெல்லாவற்றிலும் இரசாயனம் இருக்கிறது. கணினிமயமாகிவிட்டதால் உலகமே இப்போது கணினியால் இயங்கு கிறது என்று கணினியியலார் சொல்லி மகிழ்வர்.
ஆனால் ஜி. எச். ஹார்டி என்ற அறிஞர் தான் செய்யும் பணியால், தான் ஈடு பட்டிருக்கும் ஆராய்ச்சித் துறையால் இவ்வுலகிற்கு எந்தப் பயனுமில்லை என்று பெருமையாகக் கூறிக் கொண்டார். கணிதமேதை இராமானுஜம் உலகெங்கும் பிரபலமாவதற்குக் காரணமான ஹார்டி கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக் கழகத்தில் பணியாற்றியவர். முழுதும் பயனில்லாத காரியத்தைச் செய்வதாக எண்ணிக் கொண்டும் எப்படி அதில் ஈடுபடமுடிந்தது?
இயற்கையின் நிகழ்வுகளையோ அல்லது காணப்படும் பொருட்களையோ பற்றிய நமது அறிவைப் பெருக்கிக் கொள்வதுதான் பெரும்பாலான அறிவியலாரின் நோக்கம். இதில்தான் கணிதம் பிற அறிவியல் துறைகளிலிருந்து வேறுபடுகிறது. கணிதத்தில் கிட்டத்தட்ட ஒரு 'விளையாட்டு' போன்ற தொடக்கம் இருக்கிறது.
பகா எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம். உதாரணமாக 13, 23, 47. இவை ஒவ்வொன்றும் தம்மைவிடச் சிறிய எண்களால் (1-ஐத் தவிர) வகுபடுவதில்லை. வகுக்க முயன்றால் மீதி வந்து கொண்டேயிருக்கும். ஆங்கிலத்தில் 'prime numbers' எனப்படும் இப் பகா எண்கள் இயற்கையில் எளிதாகப் புலப்படுவதில்லை. வேதியியலார் படிக்கும் கார்பன், இயற்பியலில் ஆயப்படும் காந்த, மின் ஆற்றல்கள், உயிரியலார் படிக்கும் நுண்ணுயிரிகள் போலல்லாமல் கணிதப் பொருட்கள் மனித சிந்தனையால் உருவானவையேயன்றி இயற்கையிலிருந்து தோண்டியெடுக்கப் பட்டவையல்ல. ஆனாலும் கற்பனையால் படைக்கப்பட்டவையின் வசீகரம்தான் எத்தனை பேரை ஈர்க்கிறது!
சரி, இந்த பகா எண்களைப் பற்றி எந்த விதமான ஆய்வுகள் நடக்கின்றன? பகா எண்கள் வரம்பின்றி வந்து கொண்டே யிருக்கின்றன என்பதை கிரேக்க அறிஞர் யூக்ளிட் கண்டு கூறினார். இயற்கையில் காண முடியாததை, சோதனை செய்து காண்பிக்க இயலாததைப் பற்றிய கூற்றை எப்படி உண்மையென்று அறிவது? தர்க்க வாதத்தால் நிரூபிப்பதுதான் ஒரே வழி.
நான்காம் வகுப்பு படிக்கும் வளர்மதிக்கு 11க்குப் பிறகு வேறு எந்த பகா எண்ணும் தெரியவில்லை. அவளுக்கு அதைவிடப் பெரிய பகா எண்ணைக் கண்டு பிடிக்க ஒரு கடினமான(!) வழியைச் சொல்கிறேன். 11 வரையுள்ள எல்லாப் பகா எண்களையும் பெருக்கலாம். 2x3x5x7x11=30x77=2310.
இந்த விடையான 2310 என்ற மகா எண்ணை 2, 3, 5, 7, 11 என்ற அவளுக்குத் தெரிந்த எல்லாப் பகா எண்களாலும் வகுக்கும் போது மீதி வராது என்பதை வளர்மதி வகுத்துப் பார்க்காமலே ஏற்றுக் கொள்வாள். ஆனால் இந்த மகா எண்ணுக்கு அடுத்த வீட்டில் இருக்கும் 2311 என்ற எண்ணை வகுக்க முயலும் போது எப்போதும் மீதி வரும். அந்த மீதி 1 என்பது வகுக்க முயலாமலே நாம் அறிவோம். எனவே 2311 என்ற எண் பகா எண்ணாக இருக்க வேண்டும்; அல்லது அது பகு எண்ணாக இருந்தால் அதை வகுக்கும் எந்த பகா எண்ணும் 11ஐ விடப் பெரியதாய் இருக்க வேண்டும்! எனவே 11 என்பது பகா எண்களின் முடிவு இல்லை. மேலும் மேலும் அவை வந்து கொண்டேயிருக்கும். பகா எண்களில் தேய்மதிக்கு இடமே இல்லை.
இதே வாதம் 11க்குப் பதிலாக வேறெந்தப் பெரிய பகா எண்ணுக்கும் பொருந்தும். எனவே வரம்பில்லாமல் பகா எண்கள் வந்து கொண்டேயிருக்கும் என்பதுதான் யூக்ளிட் 2300 ஆண்டுகளுக்கு முன் கண்டறிந்தது.
சில சமயம் பகா எண்கள் மிகவும் நெருங்கி வந்து கொண்டேயிருக்கும். உதாரணமாக, 17, 19 பிறகு 29, 31; அப்புறம் 41, 43, பிறகு 59, 61; இன்னும் சற்றுத் தள்ளி 71, 73; பின்னர் 101, 103 என்று இந்த இரட்டைப் பகா எண்கள் பல உள்ளன. ஆனால் இந்த இரட்டைகள் வரம்பில்லாது வந்து கொண்டிருக்கின்றனவா என்பது இன்னமும் தீர்க்கப் படவில்லை.
மிகவும் நெருக்கமாகப் பகா எண்கள் வந்து கொண்டிருந்தாலும், அவ்வப்போது எண் வரிசை மிகவும் வறண்டு போய் நெடுந் தொலைவு பகா எண்களே இல்லாமல் போவதையும் காணலாம். அடுத்தடுத்த 50 எண்களில் பகா எண்களே இல்லாதிருக்கும் பாலைவனத்தைக் காண்பது எப்படி?
1 முதல் 51 முடிய எல்லா எண்களையும் பெருக்கியதாகக் கற்பனை செய்து கொள்ளுங்கள். அதன் விடையை அசுரன் என்று பெயரிடுவோம். இந்த அசுரன் பகா எண் அல்ல. அது 2, 3, 4 என்று தொடங்கி 51 முடிய எல்லாவற்றாலும் வகுபடுகிறது. இப்போது 'அசுரன்+2' என்ற எண்ணிலிருந்து தொடங்குவோம். (பாலைவனத்திற்குள் நுழைந்து விட்டோம்). அசுரன்+2 இரண்டால் வகுபடும். அதற்கு அடுத்த எண்ணான அசுரன்+3 மூன்றால் வகுபடும். (ஏனெனில் மூன்றால் வகுபடும் அசுரனுடன் 3-ஐக் கூட்டினால் அது 3-ஆல் வகுபட்டுத்தானே ஆக வேண்டும்!). அதே போல் அடுத்த எண்ணான அசுரன்+4 நான்காலும், அசுரன்+5 ஐந்தாலும்,...., அசுரன்+51 ஐம்பத்தொன்றாலும் வகுபட வேண்டும்.
இதுதான் பகா எண்ணே இல்லாத 50 அடி நீளப் பாலைவனம்!
இப்போது ஒரு கோடி அளவு நீள பகா எண்ணில்லாத வறண்ட பிரதேசத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. 1-இல் தொடங்கி ஒருகோடியே ஒன்று முடிய எல்லா எண் களையும் பெருக்கி வரும் விடையான புதிய அசுரனைக் கண்டு, அதோடு 2-ஐக் கூட்டவும். அங்கிருந்து தொடர்ச்சியாக 1 கோடி எண்களில் எதுவும் பகா எண்ணாக இருக்காது. இதில் சுவாரசியம் என்ன வென்றால் அந்த எண்ணை யாரும் எழுதிக் காட்டாமலே நிரூபிக்கச் சாத்தியமாவதுதான்.
பகா எண்கள் வரத்தில் அவ்வப்போது இப்படித் தடைபட்டாலும் தொடர்ந்து வந்து கொண்டேயிருக்கின்றன. பகா எண்களின் வரத்தில் ஒரு சீர்மையோ, ஒழுங்கோ இல்லை.
மற்றொரு விந்தை: 10, 20, 30, 40, 50, .... என்ற வரம்பிலாத் தொடரில் எல்லாமே பகு எண்கள்தான். இத்தொடரின் அண்ணன் தொடரான 11, 21, 31, 41, 51 ... இல் பகு எண்கள் வந்தாலும், பகா எண்கள் வரம் பிலாது முளைத்துக் கொண்டேயிருக்கும்.
பொதுவாகக் கூறினால் 1, x+1, 2x+1, 3x+1, 4x+1, ... என்ற தொடரில் பகா எண்கள் மீண்டும் மீண்டும் வரம்பின்றி (பகு எண்களுக்கிடையில்) வந்து கொண்டே யிருக்கும். இதைத் தவிர மேலும் பல தொடர்களிலும் இதே குணத்தைக் காணலாம்.
பிரெஞ்சு அறிஞர் திரிஷ்லே (Dirichlet) இதை 150 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு கண்டறிந்து எண்ணியலைப் பெரிதும் தீவிரமாக்கினார்.
இப்போது மூன்று வகையான பகா எண் ஜாதிகளைக் குறிப்பிடுகிறேன்.
11 பகா எண்தான். ஆனால் 111 மூன்றால் வகுபடுகிறது, 1111 பதினொன்றால் வகுபடுகிறது. எல்லா இலக்கங்களும் 1 என அமைந்த எண்களில் வேறு பகா எண்கள் உள்ளனவா?
இந்த வரிசையில் 11க்குப் பிறகு வரும் 19 இலக்கங்களுக்கும் 1 என்ற எண்தான் பகா எண். பிறகு 23 இலக்க எண். பிறகு 317 இலக்கத்திலும் அதன் பின் 1031 இலக்கங்களும்தான். இந்த "ஒன்றே குலம்" ஜாதியைச் சேர்ந்த பகா எண்கள் வரம்பிலாதிருக் கின்றனவா என்பது கணிதத்தில் தீர்க்கப் படாத கேள்வி.
பகா எண்களில் ஒரு ஜாதியான மெர்சென் பகா எண்களில்தான் ( Mersenne primes) மிகவும் பெரிய பகாசுரன்களைக் கண்டறிந்திருக்கிறார்கள்.
இந்த ஜாதியின் அடையாளம் 2p-1 என்ற சூத்திரப்படி அமைவதுதான். இதைப் பற்றி சில மாதங்கள் முன்பு வேறொரு கட்டுரையில் குறிப்பிட்டிருக்கிறேன்.
இவையும் வரம்பிலாமல் உள்ளனவா என்பது தெரியவில்லை.
சுமார் 200 ஆண்டுகளுக்கும் முன் வாழந்த பெண் கணித அறிஞர் Sophie Germain பெயரில் ஒரு ஜாதி இருக்கிறது. p, 2p+1 இரண்டும் பகா எண்களாக அமைவது. அதாவது ஒரு பகா எண்ணை இரு மடங்காக்கி ஒன்றைக் கூட்ட மீண்டும் பகா எண் வந்தல் அது சோபி ஜெர்மேன் ஜாதி என்கிறார்கள். 3, 5, 23 இதில் சேரும். ஆனால் 7, 13 இதில் சேராது. இந்த ஜாதியில் வரம்பிலாது பகா எண்கள் உள்ளனவா என்பதும் தெரியவில்லை.
பகா எண்களின் வரிசை (பட்டியலைக் காண்க) சில சமயம் இரட்டை இரட்டை யாயும் சில சமயம் நீண்ட இடைவெளிக்குப் பின்னும் இவ்வாறு எந்த ஒழுங்குமில்லாமல் வருவது பல தலைமுறைகளாக அறிஞர்களை ஈர்த்து வருகிறது. இது போல் எண்ணிய லின் பல விந்தைகளைக் கருத்தில் கொண்டுதான் ஹார்டி அவ்வாறு கூறினார். ஆனால் கடந்த முப்பதாண்டுகளில் இணைய வழி வணிகத்திற்கும், இரகசியத் தகவல் பரிமாற்றத்திற்கும் பகா எண்களை அடிப்படை யாகக் கொண்ட சங்கேத (cryptographic algorithms) முறைகள் பயன்படுத்தப் படுகின்றன. ஹார்டி தனது கல்லறையில் புரண்டு கொண்டிருக்க வேண்டும்!
மேலும் தகவல்களுக்குப் படிக்க வேண்டிய நூல்:
Paulo Ribenboim எழுதிய "The Little book of Big Primes", (ஸ்பிரிங்கர் வெளியீடு).
சில ஆறிலக்கப் பகா எண்கள்
| 320009 | 320011 | 320027 | 320039 | | 320041 | 320053 | 320057 | 320063 | | 320081 | 320083 | 320101 | 320107 | | 320113 | 320119 | 320141 | 320143 | | 320149 | 320153 | 320179 | 320209 | | 320213 | 320219 | 320237 | 320239 | | 320267 | 320269 | 320273 | 320291 | | 320293 | 320303 | 320317 | 320329 | | 320339 | 320377 | 320387 | 320389 | | 320401 | 320417 | 320431 | 320449 | | 320471 | 320477 | 320483 | 320513 | | 320521 | 320533 | 320539 | 320561 | | 320563 | 320591 | 320609 | 320611 | | 320627 | 320647 | 320657 | 320659 |
சில மகா பகா எண்கள்
72 லட்ச இலக்கங்கள் கொண்ட மெர்சன் எண்:
224,036,583-1=M41
51090 இலக்கங்கள் கொண்ட இரட்டைப் பகா எண்கள்:
33,218,925 x 2169,690 +1/-1
ஸோபிஜெர்மேன் பகா எண்: 250,041,185 x 2114,729 -1
வாஞ்சிநாதன் |