புகழேந்தி ஒரு பொறியியற் கல்லூரியில் இறுதியாண்டில் சிறப்பாகப் படித்து வரும் மாணவன். அவனுடைய ஆசிரியர் அவன் அங்கேயே மேற்படிப்பு படித்தால், அவன் நிறைய ஆராய்ச்சிகள் செய்து, கல்லூரிக்கு மேலும் பல பெருமைகளையும் கொண்டு வருவான் என்று எண்ணுகிறார். கல்லூரி வளாகத்துக்கே வந்து வேலைக்குப் புதியவர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கும் நிறுவனங்கள் அவன் தங்கள் நிறுவனத்தில் வேலை செய்தால் சில கடினமான வேலைகளைச் சிறப்பாகச் செய்வான், நிறுவனத்திற்கு இவ்வளவு இலாபம் கிடைக்கும் என்று எண்ணுகின்றன.
அவனுடைய பக்கத்து வீட்டுக்காரர், மூன்று பெண்களைப் பெற்றவர், பையன் நன்றாகப் படித்து முன்னேறி வருகிறான். நல்ல வேலை கிடைத்து, கைநிறையச் சம்பாதிப்பான். ஒரு பெண்ணை அவனுக்குக் கல்யாணம் செய்து வைத்தால் அவள் எதிர்காலம் நன்றாக இருக்குமே என்று எண்ணுகிறார்.
புகழேந்தியின் அம்மா நம்ம ஜாதியில் இதுபோல் படித்த பையன்கள் அதிகமில்லை, நல்ல இடமாகப் பார்த்துக் கல்யாணம் செய்தால் நிறையச் சீர்வரிசையும் வரதட்சணையும் கிடைக்கும் என்று கணக்குப் போடுகிறார்.
ஒரு நபரை இவ்வாறு அவரால் நம்முடைய வழிக்கு எவ்வளவு தேறும் என்று ஒவ்வொரு வரும் பலவகையில் மதிப்பீடு செய்கிறோம்.
கணிதத்தில் எண்களையும் பல வகைகளில் மதிப்பீடு செய்கிறார்கள்.
ராமானுஜம் 1729 என்ற எண்ணை 1000 + 729 = (10x10x10) + (9x9x9) = 10 ^ 3 + 9 ^ 3 என்று இரு கனங்களின் கூட்டற் பலனாக (sum of two cubes) ஒரு விதமாகவும் 1729 = 1728+1 = 12 ^ 3 + 1 ^ 3 என்று மற்றொரு விதமாகவும் எழுதலாம் என்று கண்டார் (1729ஐவிடச் சிறிய எண்களுக்கு இருவேறு கனக் கூட்டற்பலன் இல்லை என்றார்).
ராமானுஜன் கதை பேசப் போய் கனங் களுக்குத் தாவி விட்டோம். முதலில் வர்க்க எண்களை (squares) கவனிப்போம்.
85 = 81+4 = 9 ^ 2 + 2 ^ 2
85 = 49+36 = 7 ^ 2 + 6 ^ 2
50 = 5 ^ 2 + 5 ^ 2 = 7 ^ 2 + 1 ^ 2 என்று இருவிதமாக, இரு வர்க்கங்களாகப் பிரிக்க முடிகிறது. சரி 19 என்ற எண்ணைக் கவனிப்போம். அதற்குட்பட்ட வர்க்கங்கள்
{1,4,9,16}. எப்படிப் பார்த்தாலும் இரு வர்க்கங்களாக 19ஐப் பிரிக்க முடியாது. வேண்டுமானால் மூன்று வர்க்கங்களாகப் பிரிக்கலாம்:
19 = 3 ^ 2 + 3 ^ 2 + 1 ^ 2.
ஆனால் 15 என்ற எண்ணைப் பிரிக்க 1, 4, 9 என்ற மூன்று வர்க்கங்கள்தான் இருக்கின்றன. இவற்றைக் கண்டால்
15 = 9+4+1+1 என்று நான்கு வர்க்கப் பிரிவுகளாகத்தான் பிரிக்க முடியும் என்று தெரிகிறது.
என்ன இது தொந்தரவு? மிகவும் பெரிய எண்களாகிப் போனால் வர்க்கங்களும் தள்ளித் தள்ளிதான் வருமல்லவா? அப்போது மேலும் நிறைய வர்க்கத் துண்டுகளாகி விடுமோ?
இந்தக் கேள்விக்கு இருநூறு ஆண்டு களுக்கு முன்பேயே லக்ரான்ஷ் (Lagrange) என்ற பிரெஞ்சு அறிஞர் பதில் கூறிவிட்டார். எந்த எண்ணையும் நான்கு வர்க்கத் துண்டுகளாக (அல்லது அதற்கும் குறைவாக) பிரிக்க இயலும் என்று நிருபித்தார்.
·பெர்மா (Pierre Fermat) என்ற பிரெஞ்சு வழக்கறிஞர் நியூட்டனின் காலத்திற்கு முன்பாக அதாவது 1630 வாக்கில் இரு வர்க்கத் துண்டுகளாகப் பிளவுபடும் எண்கள் எவை என்பதை அறிந்துரைத்தார்.
நான்கால் வகுக்க 1 ஐ மீதியாகத் தரும் பகா எண்கள்(13, 29, 97) எல்லாம் இரு வர்க்கத் துண்டாகப் பிளவுபடும் என்றார்.
13 = 3 ^ 3 + 2 ^ 2;
29 = 5 ^ 2 + 2 ^ 2;
97 = 9 ^ 2 + 4 ^ 2.
நான்கால் வகுக்கும் போது 3ஐ மீதியாகத் தரும் பகா எண்கள்தான் சள்ளை பிடித்தவை, அவற்றை மூன்றுக்கும் குறைந்த துண்டு களாக உடைக்க இயலாது:
11 = 9+1+1; 7 = 4+1+1+1; 23 = 9+9+4+1; 31=25+4+1+1;
வர்க்கங்களாகவே அமைந்த கூட்டற் தொகையை மற்றொரு வர்க்கத்தால் பெருக்க, மீண்டும் அது அதே எண்ணிக்கையுள்ள வர்க்கங்களின் கூட்டற்பலனாகவே இருக்கும். உதாரணமாக
n= x ^ 2 +y ^ 2, nk ^ 2 = (xt) ^ 2+ (yt) ^ 2
எனவே கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை 2 வர்க்கங்களாகப் பிளக்கலாமா என்பதை அறிய அந்த எண் வர்க்கத்தால் வகுபடாத எண்ணாகக் கொள்ளலாம். வர்க்கக்காரணியிலா எண் (square-free number) ஒன்றை வகுக்கும் பகா எண்கள் எல்லாம் 4இன் மடங்கைவிட 1 அதிகமாக இருந்தால் அத்தகைய பகு எண்களும் இரு வர்க்கத் துண்டுகளாகும் என்றார் பெர்மா.
65 = 8 ^ 2+1 ^ 2; (65 இன் காரணிகள் 5உம் 13உம், அதோடு 5 = 4+1, 13 = 12+1).
55 என்ற எண்ணை 11 என்ற பகா எண் வகுக்கிறது. இந்த பகா எண் 4இன் மடங்கை விட 1 அதிகமில்லாமல், 3 அதிகமானதாக உள்ளது (அதாவது 11 = 8+3). எனவே 55ஐ இரு வர்க்கமாகப் பிளக்க முடியாது என்கிறார் பெர்மா. முயன்று பாருங்களேன்.
55க்குட்பட்ட வர்க்கங்கள் {1,4,9,16,25, 36,49}. இவற்றில் ஏதேனும் இரண்டைக் கூட்ட 55ஐப் பெறவே முடியாது.
இந்த நான்கு வர்க்கத் தேற்றத்திற்குப் பிறகு கனத்துண்டுகளுக்கு வருவோம். ஆரம்பத் திலுள்ள சில கன எண்கள் (cubes, numbers of the form k ^ 3); {1,8,27,64,125,....}
இப்போது 100 என்ற எண்ணை கனங் களின் கூட்டற்பலனாக எழுத முயல்வோமா? 100=64+27+8+1; நான்கு கனங்கள் போதுமே!
ஆனால் 12 = 8+1+1+1+1, இதற்கு ஐந்து கனங்கள்.
கனங்கள் பற்றிய சரியான கூற்று: எந்த எண்ணையும் 9 கன எண்களாகப் பிளக்கலாம் என்பதுதான். அதாவது செவ்வாய் கிரகத்து மாந்தர்கள் அவர்கள் பணத்தை நம்மைப் போல் 12,5,10 அளவிலான நோட்டுகளாக அடிக்காமல் கன எண்களாக 1,8,27,64,..... அடித்தால் எந்த பெரிய தொகையயும் 8 நோட்டுகளாக அளிக்க முடியும். அல்லது நாம் இந்தியாவில் வர்க்க எண்களின் அளவிலாக 1,4,9,16,25, . . . என்று ரூபாய் நோட்டுக்களை அச்சடித்தால்
எந்த தொகையயும் 4 நோட்டுகளாக (லக்ரான்ஷ் தேற்றத்தின்படி) அளிக்க முடியும். இதனால் பல தொல்லைகள் குறையும்.
கற்றை கற்றையாக நோட்டுகளைச் சுமக்க வேண்டியதில்லை. வரதட்சிணையையோ, கையூட்டையோ பெட்டி பெட்டியாகப் பணம் கொடுக்காமல் வெற்றிலையில் நான்கு நோட்டுகளைக் கொடுத்து எவ்வளவு கோடியையும் அளிக்க முடியும்!
அடுத்து நான்காம் அடுக்கு k ^ 4 {1,16,81, 625,...}
இதைப் பற்றிய ஊகம் எந்த எண்ணையும் 19 நான்காம் அடுக்குகளாகப் பிளக்க முடியுமென்பது. அதற்குக் குறைவாக முடியாது.
79 = 16+16+16+16+(1+1+....+1) (அதாவது 15 ஒன்றுகள்)
இந்த ஊகத்தை 1985ஆம் ஆண்டில்தான் சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி நிரூபித்தனர். இரு பிரெஞ்சு அறிஞர்களும் சென்னையைச் சேர்ந்த பாலசுப்ரமணியன் என்ற அறிஞரும் இதைச் சாதித்தனர்.
*****
இந்தியாவில் துறைமுக அலுவலகத்தில் வேலை பார்த்து வந்த ராமானுஜத்தைக் கணித ஆய்வுக்காகக் கேம்பிரிட்ஜ் பல்கலைக் கழகத்துக்கு வரவழைத்த ஜி.எச். ஹார்டி சில நாட்கள் உடல் நலமின்றி ராமானுஜம் மருத்துவமனையிலிருந்த போது அவரைப் பார்க்கச் சென்றிருந்தார். இராமானுஜத்துடன் என்ன பேசுவது என்று நினைத்தாரோ தெரியவில்லை தான் வந்த டாக்ஸியின் எண்ணான 1729, எந்தவித சுவாரசியமுமில்லாத எண் என்று கூறினார்.
அப்போதுதான் ராமானுஜன் அந்த எண் இருவிதமாக இரு கனங்களின் கூட்டுத் தொகையாகப் பிரிக்க இயலக்கூடிய முதல் எண் அதுதான் என்று ஒரு போடு போட்டு ஹார்டியை அசத்தினார். லிட்டில்வுட் என்ற மற்றோர் அறிஞர் ராமானுஜம் ஒவ்வோர் எண்ணையும் பற்றி இவ்வளவு தகவல்களை அறிந்திருப்பதை வியந்து எண்கள் யாவும் ராமனுஜத்திற்கு நெருங்கிய நண்பர்கள் என்று கூறினார்.
வாஞ்சிநாதன் |